\documentclass[]{beamer}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{lmodern}
\usepackage{beamerthemesplit} 
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-node}
\usepackage{graphicx,array,enumerate,subfigure}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{color}
\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
\newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
%\setlength{\intextsep}{10pt plus 1pt minus 1pt}
\title[XSR : Couverture contre les pluies torrentielles en Jamaïque]{Etude d'un produit d'assurance paramétrique contre le risque de pluie torrentielle en Jamaïque}
\author[Cuong NGUYEN QUOC et Florent RITLENG]{Cuong NGUYEN QUOC \and Florent RITLENG}
\institute[Mémoire d'actuariat- ENSAE Paristech]{Encadrants : P. PICARD - E. STROBL}
\date{3 Juillet 2014}

\begin{document}
\footnotesize
\begin{frame}[plain]
\titlepage
\centering
\large{GT/Mémoire d'actuariat - ENSAE ParisTech}
\end{frame}


\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\begin{frame}
\centering
\Large Introduction
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=6cm]{Pictures/rainfall.jpg}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Produit XSR}
\subsection{Le CCRIF}
\begin{frame}
\frametitle{CCRIF : Caribbean Catastrophe Risk Insurance Facility}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=1.5cm]{Pictures/ccrif_logo.jpg}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item Premier pool d'assurance multi-pays regroupant 16 pays des Caraïbes
\item Intermédiaire entre les pays des Caraïbes et les marchés de réassurance 
\item Accès rapide à la liquidité suite à une catastrophe \textbf{pour le gouvernement}
\item Entre 2007 et 2011, 8 paiements à 7 pays totalisant 32 millions de dollars
\item Offre exclusivement des produits d'assurance paramétrique. 
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Assurance paramétrique}
\begin{frame}
\frametitle{Assurance paramétrique}
Assurance paramétrique vs. Assurance traditionnelle :
\begin{itemize}
\item Un sinistre est déclenché par un dépassement d'indice : vitesse maximale du vent, niveau de précipitation (et non pas d'indemnisation des dégâts constatés)
\item Rapidité des paiements (CCRIF : paiements sous 2 semaines)
\item Absence d'asymétrie d'information 
\item Risque de base important mais transparence pour les investisseurs 
\end{itemize}

Le CCRIF propose trois types de produit paramétrique : 
\begin{itemize}
\item Couverture contre les ouragans (vitesse du vent)
\item Couverture contre les tremblements de terre (échelle de Richter)
\item Couverture contre les pluies torrentielles (précipitation)
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Mécanisme du produit XSR}


\begin{frame}
\frametitle{XSR : Découpage de la Jamaïque}
\begin{itemize}
\item Données satellite des pluies journalières entre 1998-2012
\item Expositions fournies par le CCRIF sur 28 zones 
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
     \centering
       \includegraphics[scale=0.5,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Cellules_TRMM_Jamaica.png}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{XSR : Construction de l'indice (1/2)}
Evénement local/ Indice local
\begin{figure}[htbp]
   \centering
     \includegraphics[scale=0.5,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/XSR_step2.png}
     %\rule{35em}{0.5pt}
   \label{fig:XSR step 2}
\begin{equation*}
\begin{array}{rlr}
I_{local}= &\underbrace{\alpha_i}_{\textit{taux d'exposition}} \times \textit{ fonction de vulnérabilité }(\textit{pic pluies 5 jours}) & \textnormal{jour du pic} \\
= & 0  & \textnormal{sinon}
\end{array}
\end{equation*}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{XSR : Construction de l'indice (2/2)}
Evénement national / Indice national 
\begin{figure}[htbp]
   \centering
     \includegraphics[height=4cm]{Figures/Chapter1/XSR_last.png}
     %\rule{35em}{0.5pt}
   \label{fig:XSR last step}
\end{figure}
\begin{equation*}
I_{nat}= \sum_{i}^{28} I_{loc\{\textit{cellule i} \}}
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{XSR : Application aux données entre 1998 et 2012}
\begin{itemize}
\item 200 événements locaux regroupés en 29 événements nationaux détectés
\item Les pluies torrentielles touchent principalement l'Est de l'Île pendant la saison des pluies
\item Parmi les 9 catastrophes naturelles recensées dans les Caraïbes, 6 sont détectées 
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[height=3.5cm,keepaspectratio=true]{Pictures/hurricane.jpg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{XSR : Tarification}
\scriptsize
Fonction de paiement
\begin{itemize}
\item \textit{Attachment} et \textit{Exhaustion} déterminés comme des quantiles de ($I_{nat}$)
\item Montant limite de couverture \textit{Coverage Limit} :
\begin{itemize}
\scriptsize
\item soit déduit grâce à une fonction de dommage
\item soit décidé par le pays souscripteur 
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[height=2.5cm,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_paiement.png}
\end{figure}
Tarification du contrat XSR
\begin{equation*}
\textit{Prime Pure} = \mathbb{E}[Paiements] = \mathbb{E}[g(I_{nat})]
\end{equation*} 
\end{frame}





\section{Modélisation statistique des pluies}

\subsection{Modélisation des pluies journalières}
\begin{frame}
\frametitle{Modèle d'agrégation durée-intensité}
Processus de Barlett-Lewis :
\begin{itemize}
%\item dates de début d'événements pluvieux $\sim$ Poisson (temps d'inter-arrivées $\sim \exp$ )
\item processus d'occurence de pluie ($\sim$ Poisson)
\vspace{0.2cm}
\item processus d'intensité ($\sim\exp$)
%\item durée d'événement pluvieux $\sim \exp $
%\item intensités de précipitations $\sim\exp, Gamma,\dots $  
%\item les intensités journalières s'additionnent 
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
Limites
\begin{itemize}
\item Temps d'inter-arrivé $\not\sim \exp$ 

\vspace{0.2cm}
\item Les données ne fournissent que les durées discrètes
%\item $\mathbb{P}[\textit{durée}=n] \sim Geo$, inadéquate aux données (text de Chi-deux)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Modélisation par chaine de Markov}
Chaine de Markov à deux états : 
\begin{figure}[htbp]
\centering
    \subfigure[Processus à deux états]{\includegraphics[width=4cm,height=4cm,keepaspectratio=FALSE]{Figures/Chapter2/Markov.png}}
    \qquad
    \subfigure[Comparaison des durées]{\includegraphics[width=6cm,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter2/duration.pdf}}
\end{figure}
\end{frame}


 \begin{frame}
\frametitle{Intensité des précipitations}
\begin{itemize}
\item Modélisation par cellule et par mois ( $28\times 12$ paramètres à estimer) \\
\vspace{0.2cm}
\item Pourcentage d'adéquation sur les 28 cellules :
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\scriptsize
\item  Loi Gamma \\
\begin{tabular}{c c c c c c}
\hline \hline
 \textbf{Janvier} & \textbf{Février} & \textbf{Mars} & \textbf{Avril} & \textbf{Mai}  & \textbf{Juin} \\
82\% 			 & 96\%    			& 93\% 			& 96\%  		 & 68\% 		 & 94\% 		 \\ 
\textbf{Juillet} & \textbf{Août} 	& \textbf{Septembre} & \textbf{Octobre} & \textbf{Novembre}  & \textbf{Décembre} \\
68\% 			 & 82\%    			& 57\% 			& 89\%  		 & 71\% 		 & 61\% 		 \\ 
\hline \hline
\end{tabular}
\vspace{0.2cm}
\item Loi de  Weibull \\
\begin{tabular}{c c c c c c}
\hline \hline
\textbf{Janvier} & \textbf{Février} & \textbf{Mars} & \textbf{Avril} & \textbf{Mai}  & \textbf{Juin} \\
96\% 			 & 100\%    			& 100\% 			& 100\%  		 & 100\% 		 & 86\% 		 \\ 
\textbf{Juillet} & \textbf{Août} 	& \textbf{Septembre} & \textbf{Octobre} & \textbf{Novembre}  & \textbf{Décembre} \\
96\% 			 & 100\%    			& 100\% 			& 100\%  		 & 100\% 		 & 93\% 		 \\ 
\hline \hline
\end{tabular}
\end{itemize}
\end{itemize}
 \end{frame}
 
 
 \begin{frame}
\frametitle{Application à la simulation des pluies journalières}
La distribution des indices simulés est-elle comparable à celle des indices historiques ? 
\newline
\begin{itemize}
\item Répartitions spatiale et temporelle cohérentes
\item Sous-estimation du nombre d'événements extrêmes : $\sim$ 40 événements locaux vs. 200 événements locaux historiques sur 15 ans
\item Sous-estimation des dépassements moyens
\end{itemize}
\vspace{1cm}
$\Rightarrow$ Estimer directement les dépassements 
 \end{frame}
\subsection{Modélisation des dépassements}
\begin{frame}
\frametitle{Théorie des valeurs extrêmes}
 Le but est d'estimer la loi de $X|X>250$ :
\begin{itemize}
\item Selon la TVE, sous de bonnes conditions : 
\begin{align*}
(X|X>u) \sim &\textit{Generalized Pareto Distribution}(\sigma,\xi) \\
&H(y) = 1 - \left(1+\frac{\xi y}{\sigma}\right)^{-1/\xi} 
\end{align*}
\item Estimation des dépassements moyens sur 28 cellules :
\begin{itemize}
\scriptsize
\item Fixer le seuil $u_0$= 100 mm 
\newline
\item $(X|X>u_0)\sim GPD(\xi ,\sigma_0) \Rightarrow (X|X>250)\sim GPD(\xi ,\sigma_0+\xi(250-u_0))$ 
\newline
%\item Paramètre $\xi>0$ (loi de Pareto, queue épaisse) sur la plupart des cellules. 
\end{itemize} 
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Modélisation de la dépendance}
\begin{frame}
\frametitle{Théorie de copule}
 Soit H une fonction de répartition de dimension $n$ ayant pour maginales $F_1,\dots,F_n$.
La fonction $C$ est appelée copule associée à H si :
\begin{equation} \label{eq: Copula n}
\forall x \in  \bar{\mathbb{R}}^n, H(x_1,x_2,\dots,x_n)=C(F_1(x_1),F_2(x_2),\dots,F_n(x_n))
\end{equation}
Selon le \textbf{théorème de Sklar} : \\
\begin{itemize}
\item Une telle copule C existe
\item Si $F_1,\dots,F_n $ sont toutes continues alors C est définie de manière unique
\item Réciproquement, si C est une copule de dimension n et $F_1,\dots,F_n$ sont des fonctions de répartition unidimensionelles alors la fonction H définie par la relation \ref{eq: Copula n} est fonction de répartition d'une distribution de dimension n.
\end{itemize}
Application à la modélisation des dépassements multivariés : 
\begin{itemize}
\item Estimer les lois de dépassements locaux 
\item Choisir une modélisation de dépendance, i.e. une fonction de copule
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Choix de copule}
\scriptsize
Comparaison de la dépendance des extrêmes en dimension 2 :
\begin{figure}[!h]
\centering
   \includegraphics[scale=0.32]{Figures/Chapter3/Copule_Gumbel.png}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item  \textbf{Empirique} : forte dépendance pour des grandes valeurs
\item  \color{blue}{Copule de Gumbel$(\alpha)$}\color{black} : modélisation adéquate mais insuffisante pour $d>2$
\item \color{red}{Copule Gaussienne$(\Sigma)$}\color{black}: plus réalisable en dimension $d=28$ 
\end{itemize}
 \color{black} 
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Modélisation des extrêmes multivariés}
Simulation de l'indice national
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item Estimation des distributions marginales : $Y_i=X_i|X_i>250 \sim GPD(\sigma_i,\xi_i)$ (hypothèse queue lourde $\xi_i>0$)
\vspace{0.2cm}
\item Estimation de la matrice variance-covariance $\Sigma$ de la copule gaussienne ($27*28=378$ coefficients à estimer)
\vspace{0.2cm}
\item Simulation des dépassements multivariés $(Y_1,\dots,Y_{28})$ via la copule \\
 (10 000 simulations journalières $\approx$ 37 années)
\vspace{0.2cm}
\item Calcul des indices locaux puis indice national $I_{nat} = \sum_{1}^{28} I_{\textit{cellule i}}$
\end{itemize}
\end{frame}


\section{Tarification du produit XSR}

\subsection{Calcul de la prime}

\begin{frame}
\frametitle{Calcul de la prime}
Formule de tarification : 
\scriptsize
\begin{equation*}
\begin{split}
\textit{Prime nationale}&=\mathbb{E}\left(\sum_{n=1}^{N}\textit{Paiement}_n \right) 
			  =\mathbb{E}\left(N\right)\times
			  	\mathbb{E}\left[Paiement_{nat}(I_{nat})\right] 
\end{split}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item Historiquement, 2 événements par an : $\mathbb{E}\left(N\right) \approx 2$
\item Choix de la fonction $ Paiement_{nat} $:
\begin{itemize}
\scriptsize
\item \textit{Attachment} et \textit{Exhaustion} pour couvrir la totalité des 29 événements détectés
%\begin{itemize}
%\scriptsize
%\item $Attachement = 7 \times 10^{-5}$
%\item $Exhaustion = 99,05\% $
%\end{itemize}
\item \textit{Coverage Limit} = 28 millions de dollars
\end{itemize}
\item Prix de la couverture annuelle :
\begin{itemize}
\scriptsize
\item Prime nationale = \textbf{8,68 millions de dollars} (Return on Line $\sim 31\%$)
\item Effet de dépendance des pluies : 
\vspace{0.1cm}

$\Rightarrow \sum_{i}^{28} \textit{Prime locale}_{\textit{cellule i}}=$ \textbf{5,12 millions de dollars}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\subsection{Sensibilité du calcul de la prime}
\begin{frame}
\frametitle{Choix de modèle des dépassements extrêmes}
Modèle de dépassement de seuil $\sim GPD(\sigma,\xi)$
\begin{itemize}
\item $\xi>0$ : modèle à queue épaisse (loi de Pareto)
\item $\xi=0$ : modèle à queue intermédiaire (loi exponentielle)
\end{itemize}
\vspace{1cm}

Impact du changement de modèle (queue épaisse $\rightarrow$ queue intermédiaire) sur la tarification :

$\Rightarrow$   Prime nationale :  baisse de 28\%

\vspace{1cm}

Quels moyens pour transférer ce risque ? 
 
\end{frame}
%\begin{frame}
%\frametitle{Impact de la modification de la courbe de vulnérabilité}
%\begin{equation*}
%I_{local}= \underbrace{\alpha_i}_{\textit{taux d'exposition}} \times \textit{ fonction de vulnérabilité }(\textit{pic pluies 5 jours})
%\end{equation*}
%\begin{figure}[htbp]
%\centering
%   \includegraphics[scale=0.25,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_vul_simple1.png}
%\end{figure}
%Calcul de sensibilité :
%\begin{itemize}
%\item A =250 mm
%\item Prime peu sensible par rapport à B : \\
%$B=800$ $\longrightarrow$ $10 000$ mm :  Prime nationale + 0,04\%
%\item Prime insensible par rapport à C (facteur d'échelle)

%\end{itemize}
%\end{frame}


\subsection{Transfert de risque}
\begin{frame}
\frametitle{Transfert de risque}
Le CCRIF dispose de divers moyens de transfert de risque :
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=3cm]{Figures/Chapter1/CCRIF.pdf}
\end{figure} 
\begin{itemize}
\item Appel aux actionnaires : augmentation de fonds propre 
\item Réassurance (Swiss Re)
\item Titrisation de risque catastrophe : Cat Bonds 
\end{itemize}
\end{frame}


\section{Conclusion}
\begin{frame}

\frametitle{Conclusion}
\begin{itemize}
\item Mécanisme du produit XSR : pluies aggrées, courbe de vulnérabilité, fonction de paiement
\item Différentes approches de modélisation de l'aléa :
\begin{itemize}
\scriptsize
\item Modélisation de la  pluie journalière : sous-estimation des extrêmes
\item Modélisation des extrêmes univariés via la théorie des valeurs extrêmes 
\item Modélisation de la dépendance via la copule gausienne
\end{itemize}
\item Tarification du contrat XSR via la simulation :
\begin{itemize}
\scriptsize
\item Choix de queue de distribution impacte fortement la prime 
\item La prime reste peu sensible par rapport à d'autres inputs
\end{itemize}
\item Transfert de risque 
\item Expansion du produit XSR à d'autres pays
\end{itemize}

\end{frame}
\begin{frame}
\centering
\huge
Merci de votre attention !  \\
\vspace{1cm}
\end{frame}

\section*{Annexes}

\subsection*{Annexe 1 : Fonction de vulnérabilité}

\begin{frame}

Fonction de vulnérabilité simple
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=3cm]{Figures/Chapter1/fonction_vul_simple.png}
\end{figure}
Sensiblités : 
\begin{itemize}
\item Seuil A = 250 mm 
\item Seuil B = 800 mm  $\longrightarrow$ 10 000 mm : impact -2\% de la prime nationale
\item Facteur C = 100 \% $\longrightarrow$ aucun impact sur la prime calculée
\end{itemize}

\end{frame}


\subsection*{Annexe 2 : Exposition au risque}
\begin{frame}
\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[width=11cm,height=4.5cm,keepaspectratio=false]{Figures/Chapter1/jamaique-topographique.png}
  \caption[Répartition des expositions]{Répartition des expositions}
\end{figure}  


\end{frame}


\subsection*{Annexe 3 : Détection d'événements}
\begin{frame}
\scriptsize
Détection des catastrophes naturelles par l’indice CCRIF entre 1998 et 2012 : 
\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{l|c|c c|c}

\textbf{Catastrophe naturelle}&\textbf{Année}&\textbf{Début}&\textbf{Fin}&\textbf{Détecté} \\
\hline \hline 
Ouragan Michelle & 2001 & 28/10/2001 & 05/11/2001 & Oui \\
Pluies torrentiells de Mai/Juin & 2002 & 22/05/2002 & 02/06/2002  & Oui \\
Ouragan Ivan & 2004 & 10/09/2004 &	12/09/2004 & Oui \\
Ouragan Dennis \& Emily & 2005 & 18/07/2005 &	05/08/2005 & \emph{Non} \\
Ouragan Wilma & 2005 & 13/10/2005 &	19/10/2005 & Oui \\
Ouragan Dean & 2007 & 19/08/2007 &	20/08/2007 & \emph{Non} \\
Tempête tropicale Gustav & 2008 & 28/08/2008 &	29/08/2008 & Oui \\
Tempête tropicale Nicole& 2010 & 26/09/2010 &	01/10/2010 & Oui \\
Ouragan Sandy &	2012 &	23/10/2012 &	25/10/2012 & \emph{Non} \\
\hline
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}

\subsection*{Annexe 4 : Tarification des tranches de risques}

\begin{frame}
\scriptsize
 CCRIF cède des tranches de risques à plusieurs réassureurs qui utiliseraient le même modèle que le CCRIF : 
\begin{figure}
 \centering
   \subfigure[Découpage]{\includegraphics[scale=0.4]{Figures/Chapter3/Reassurance_2.png}}
  \subfigure[Fonction de Paiement]{\includegraphics[scale=0.4]{Figures/Chapter3/Reassurance_3.png}}
\end{figure}

 Les tarifs des tranches ont été calculés par le modèle multivarié : \\
\vspace{0.2cm}
%\begin{table}
%\centering
\begin{tabular}{c|c|C{3cm}|C{3cm}}
\textbf{Tranche} & \textbf{Point de Priorité} & \textbf{Portée en M\$} & \textbf{Prime en M\$}\\
\hline \hline
CCRIF & 0,4\% & 4,95 & 4,02 \\
1     & 75\% & 9,30 & 2,93 \\
2	  & 90\% & 9,42 & 1,36 \\
3     & 95\% & 4,33 & 0,37 \\
\hline \hline
\end{tabular}
%\end{table}
\end{frame}

\subsection*{Annexe 5 : Indemnités versées par le CCRIF}
\begin{frame}
\footnotesize
\begin{table}[htbp]
\centering
\footnotesize
\begin{tabular}{l|L{2cm}|r}
\textbf{Evénement} & \textbf{Pays affecté} & \textbf{Indemnités} (US\$) \\
\hline \hline
Séisme, 29 Novembre 2007 & Dominique & 528,021 \\
\hline
Séisme, 29 Novembre 2007 & Saint Lucia & 418,976 \\
\hline
Tempête Tropicale Ike, Septembre 2008 & Îles Turques-et-Caïques & 6,303,913\\
\hline
Séisme, 11 Janvier 2010 & Haïti & 7,753,579 \\
\hline
Tempête Tropicale Earl, Août 2010 & Anguilla & 4,282,733\\
\hline
Tempête Tropicale Tomas, Octobre 2010 & Barbades & 8,560,247\\
\hline
Tempête Tropicale Tomas, Octobre 2010 & Saint Lucia & 3,241,613\\
\hline
Tempête Tropicale Tomas, Octobre 2010 & St Vincent \& les Grenades & 1,090,388\\
\hline \hline 
\multicolumn{2}{l}{\textbf{Total pour la période 2007-2011}} & \multicolumn{1}{r}{\textbf{US\$ 32,179,470} } \\
\end{tabular}
\caption[Indemnités versées par le CCRIF depuis 2007]{Indemnités versées aux états fondateurs du CCRIF depuis 2007}
\label{tab:Indemnity CCRIF}
\end{table}

\end{frame}

\end{document}
